圆锥曲线与直线的位置关系圆锥曲线与直线的位置关系：权威专家解析
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数学圆锥曲线公式？
圆锥曲线是由圆锥和平面所确定的曲线，包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。下面是它们的公式和定义。
1. 圆
圆是具有对称轴的圆锥曲线，对称轴是过圆心的直线。圆的标准方程为：
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
其中，(a, b)是圆心的坐标，r是半径。
2. 椭圆
椭圆是具有两个对称轴的圆锥曲线，分别称为短轴和长轴，并且短轴小于等于长轴。椭圆的标准方程为：
(x - a)^2 / a^2 + (y - b)^2 / b^2 = 1
其中，(a, b)是椭圆中心的坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。
3. 双曲线
双曲线是具有两个对称轴的圆锥曲线，分别称为渐近线。双曲线的标准方程可以是以下两种形式之一：
(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1
或
(y^2 / b^2) - (x^2 / a^2) = 1
其中，(a, b)是双曲线中心的坐标，a和b分别是双曲线的“半轴”。
4. 抛物线
抛物线是具有一个对称轴的圆锥曲线，对称轴是过抛物线焦点的直线。抛物线的标准方程可以是以下两种形式之一：
y = a(x - h)^2 + k
或
x = a(y - k)^2 + h
其中，(h, k)是抛物线的顶点坐标，a是抛物线的参数，决定抛物线的开口方向。
需要注意的是，以上公式都是基于笛卡尔坐标系而言，而在极坐标系下，圆锥曲线的方程会有不同的表现形式。
直线与圆相交的弦长公式推导过程？
弦长公式的推导过程：d=√(1+k²)|x1-x2|，推导出x1、x2之后，|x1-x2|就是弦长在x边上的投影，所以就相当于使用购股定理，投影边为1，则另外一个直角边为k，斜边长就是√(1+k²)，所以成比例地d/|x1-x2|=√(1+k²)/1，d=√(1+k²)|x1-x2|。
弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。圆锥曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重要内容之一，也是高考的热点，反复考查。考查的主要内容包括：直线与圆锥曲线公共点的个数问题；弦的相关问题（弦长问题、中点弦问题、垂直问题、定比分点问题等）；对称问题；最值问题、轨迹问题和圆锥曲线的标准方程问题等。
圆锥曲线直线联立口诀？
椭圆方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1
直线方程：y=kx+d，代入椭圆
x^2/a^2+(kx+d)^2/b^2=1，整理得
(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2kdx+a^2(d^2-b^2)=0
∴x1+x2=-2a^2kd/(a^2k^2+b^2), x1x2=a^2(d^2-b^2)/(a^2k^2+b^2)
y1+y2=k(x1+x2)+2d=2b^2d/(a^2k^2+b^2)
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4a^2b^2[(a^2k^2+b^2-d^2)]/(a^2k^2+b^2)^2
|x1-x2|=√(a^2k^2+b^2-d^2)*[2ab/(a^2k^2+b^2)]
（若一定要取x1-x2直接在结果前面加±号就行）
双曲线方程：x^2/a^2-y^2/b^2=1
直线方程：y=kx+d，代入双曲线
x^2/a^2-(kx+d)^2/b^2=1，整理得
(a^2k^2-b^2)x^2+2a^2kdx+a^2(d^2-b^2)=0
∴x1+x2=-2a^2kd/(a^2k^2-b^2), x1x2=a^2(d^2-b^2)/(a^2k^2-b^2)
y1+y2=k(x1+x2)+2d=2b^2d/(a^2k^2-b^2)
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=4a^2b^2[(a^2k^2-b^2-d^2)]/(a^2k^2-b^2)^2
|x1-x2|=√(a^2k^2-b^2-d^2)*[2ab/|a^2k^2-b^2|]
（若一定要取x1-x2直接在结果前面加±号就行）
圆锥曲线和直线联立后的公式？
椭圆方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1
直线方程：y=kx+d，代入椭圆
x^2/a^2+(kx+d)^2/b^2=1，整理得
(a^2k^2+b^2)x^2+2a^2kdx+a^2(d^2-b^2)=0
∴x1+x2=-2a^2kd/(a^2k^2+b^2), x1x2=a^2(d^2-b^2)/(a^2k^2+b^2)
圆锥曲线什么时候要算判别式？
判定直线与曲线的位置关系的时候就要使用园锥曲线的判别式：
园锥曲线的统一方程为：Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0；其所表图像的判别式为：△=B²-4AC；
判别方法如下：△=B²-4AC<0 椭 园 一点或无图像△=B²-4AC>0 双 曲 线 两相交直线△=B²-4AC=0 抛 物 线 两平行直线或一直线。